1. Khái niệm nguyên hàm lnx

Ta có hàm số $f(x)$ xác định trên K. Hàm số $f(x)$ chính là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu $f'(x)=f(x)$ với $xin K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ được tính như sau:Đặt $left{begin{matrix}u=lnxdv=dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{x}dxv=x end{matrix}right.$Ta có $int lnxdx=xlnx-int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta có bảng công thức nguyên hàm In x và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp.

3. Cách tính nguyên hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính S=a+b=c.Giải:Đặt $left{begin{matrix}u=ln(x+1)dv=dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{x+1}dxv=x+1 end{matrix}right.$Lúc này ta có:$int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)left|begin{matrix} 21 end{matrix}right.-int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$Như vậy: a=3; b=-2; c=-1$Rightarrow$ S=a+b+c=0Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$Giải: B=$int x^{2}lnxdx=int lnxd(frac{x^{3}}{3})$=$frac{x^{3}}{3}lnx-int frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$=$frac{x^{3}}{3}lnx-int frac{x^{3}}{3}.frac{dx}{3}=frac{x^{3}}{3}lnx-frac{x^{3}}{9}+C$Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm và các kiến thức Toán thi THPT Quốc Gia khác với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:Tìm nguyên hàm J=$int frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$Giải:Ta có: J=$int frac{lnx+1}{x(frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.frac{lnx}{x^{2}}dx$Đặt t=$frac{lnx+1}{x}Rightarrow dt=frac{lnx}{x^{2}}dx Rightarrow J=int frac{tdt}{(t+1)^{3}}=int [frac{1}{(t+1)^{3}}-fr...

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đúng với mọi số thực khi?Giải:Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:a) $int 2xln(x-1)dx$b) $int frac{ln(x+1)}{x^{2}}$Giải:a) Đặt $left{begin{matrix}u=ln(x-1)dv=2xdx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{1}{x-1}dxv=x^{2}-1 end{matrix}right.$Ta có $int 2xln(x-1)dx$=$(x^{2}-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$=$(x^{2}-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$=$(x^{2}-1)ln(x-1)-frac{x^{2}}{2}-x+C$Đặt $left{begin{matrix}u=ln(1+x)dv=frac{1}{x^{2}}dtend{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{(1+x)}dxv=-frac{1}{x}-1=-frac{1+x}{x} end{matrix}right.$=> $F(x)=-frac{1+x}{x}.ln(1+x)+int frac{1}{x}dx$= $-frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:Tìm nguyên hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$Giải:Ví dụ 2:Cho $int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là các số hữu tỉ. Tính P=abA. P=$frac{3}{2}$B. P=0C. P=$frac{-9}{2}$D. P=-3Giải:Ta có I=$int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$Đặt $left{begin{matrix}u=ln(1+x)dv=frac{1}{x^{2}}dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{1}{1+x}dxv=-frac{1}{x} end{matrix}right.$Khi đó I=$-frac{1}{x}ln(1+x)left|begin{matrix} 21 end{matrix}right.+int_{1}^{2}frac{1}{x(1+x)}dx=-frac{1}{2}ln3+ln2+int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{1}{1+x})dx$=$-frac{1}{2}ln3+ln2+(lnfrac{x}{x+1})left|begin{matrix}21 end{matrix}right.=-frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-frac{3}{2}ln3$Suy ra a=3, b=$-frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=frac{-9}{2}$Chọn đáp án C.

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)xGiải:Ta có: y’= $-frac{1}{x^{2}}+frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$=$-frac{1}{x^{2}}+frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-frac{ln(x)}{x^{2}}$Ví dụ 2:Giả sử tích phân I=$int_{1}^{5}frac{1}{1+sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5. Lúc đó:A. $a+b+c=frac{5}{3}$B....

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên hàm $I=int frac{ln(lnx)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số I=$int frac{ln(lnx)}{x}dx$Giải:Đặt lnx=t => dt = $frac{dx}{x}$Suy ra I=$int frac{ln(lnx)}{x}dx=int lntdt$Đặt $left{begin{matrix}u=lntdv=dt end{mat...