Lý thuyết cấp số nhân

1. Định nghĩa

(u_n) là cấp số nhân (Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q), với (nin {mathbb N}^*)

Công bội (q = dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} = 5,q = 3). Tính ({u_2}).

Ta có: ({u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15).

2. Số hạng tổng quát

({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2))

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} = 5,q = 3). Tính ({u_5}).

Ta có:

({u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405).

3. Tính chất

(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}) hay (|{u_k}| = sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}},) với (k ≥ 2)

Ví dụ:

Cho bốn số (x;,5;,25;,y) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm (x,,y).

Ta có:

(begin{array}{l}{5^2} = x.25 Leftrightarrow x = 1{25^2} = 5y Leftrightarrow y = 125end{array})

Vậy (x = 1,y = 125).

4. Tổng n số hạng đầu

({S_n} = dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}) (= dfrac{{{u_1}left( {1 - {q^n}} right)}}{{1 - q}}), ((q ≠ 1)).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} = 5,q = 3). Tính ({S_{10}}).

Ta có:

(begin{array}{l}{S_{10}} = dfrac{{{u_1}left( {1 - {q^{10}}} right)}}{{1 - q}},,,,,,, = dfrac{{5.left( {1 - {3^{10}}} right)}}{{1 - 3}},,,,,,, = dfrac{{5left( {{3^{10}} - 1} right)}}{2}end{array})

5. Bài tập về cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. $q = - 4,.$

B. $q = 4.$

C. $q = - 12.$

D. $q = 10.$

Lời giải: Vì (left( {{u_n}} right)) là cấp số nhân nên (q = dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = dfrac{8}{{ - 2}} = - 4).

Chọn đáp án A

Bài 2. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_3} = 12.,,,,$

B. ${u_3} = - 12.$

C. ${u_3} = 16.$

D. ${u_3} = - 16.$

Lời giải: Ta có:

({u_5} = {u_1}.{q^4} Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} Leftrightarrow {q^4} = 16 ) (Leftrightarrow {q^2} = 4 Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12)

Chọn đáp án A.

Bài 3. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$, biết: ${u_1} = - 2,,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${S_5} = - 512$

B. ${u_5} = 256$

C. ${u_5} = - 512$

D. $q = 4$

Lời giải: Ta có:

${u_1} = - 2,{u_2} = 8 Rightarrow q = dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$

Do đó ({u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{left( { - 4} right)^4} = - 512).

({S_5} = dfrac{{{u_1}left( {1 - {q^5}} right)}}{{1 - q}} = dfrac{{ - 2left( {1 - {{left( { - 4} right)}^5}} right)}}{{left( {1 - left( { - 4} right)} right)}} = - 410)

Chọn đáp án C.

Bài 4. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$ có ${u_1} = - 1;,q = dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ $103$

B. số hạng thứ $104$

C. số hạng thứ $105$

D. Đáp án khác

Lời giải: Ta có:

({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} Leftrightarrow dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{left( { - dfrac{1}{{10}}} right)^{n - 1}} Leftrightarrow {left( { - dfrac{1}{{10}}} right)^{n - 1}} = - left( {dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} right) = {left( { - dfrac{1}{{10}}} right)^{103}} ) (Leftrightarrow n - 1 = 103 Leftrightarrow n = 104)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số nhân $left( {{u_n}} right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_7} = 12.$

B. ${u_7} = - 12.$

C. ${u_7} = - 2$

D. ({u_7} = 18)

Lời giải: Ta có:

(u_6^2 = {u_5}.{u_7} Rightarrow {u_7} = dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = dfrac{{{{left( { - 6} right)}^2}}}{3} = 12)

Chọn đáp án A.

Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:

A. ({u_n} = {5^n})

B. ({u_n} = {left( {2 - sqrt 3 } right)^{n + 1}})

C. ({u_n} = 5n + 1)

D. ({u_n} = {4^n})

Lời giải: Ta có:

({u_n} = {5^n}) nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} Rightarrow dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi (forall n ge 1) .

Vậy dãy số (left( {{u_n}} right)) có ({u_n} = {5^n}) là cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có:

({u_n} = 2{( - sqrt 3 )^{n + 1}}) nên ${u_{n + 1}} = 2{( - sqrt 3 )^{n + 2}} = ( - sqrt 3 ){u_n} Rightarrow dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - sqrt 3 )$ không đổi (forall n ge 1) .

Vậy dãy số (left( {{u_n}} right))có ({u_n} = 2{( - sqrt 3 )^{n + 1}}) là cấp số nhân.

Ta có:

({u_n} = 5n + 1) nên ({u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 Rightarrow dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} ne dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}})

Vậy dãy số (left( {{u_n}} right)) không là cấp số nhân.

Chọn đáp án C.

Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có công bội (q > 0) . Biết ({u_2} = 4;{u_4} = 9) .

A. ({u_1} = - dfrac{8}{3};q = dfrac{3}{2})

B. ({u_1} = dfrac{8}{3};q = dfrac{3}{2})

C. ({u_1} = - dfrac{5}{3};q = dfrac{3}{2})

D. ({u_1} = dfrac{5}{3};q = dfrac{3}{2})

Lời giải: Ta có ({u_2} = 4 = {u_1}.q) và ({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3})

(Rightarrow dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} Rightarrow dfrac{9}{4} = {q^2} ) (Rightarrow q = dfrac{3}{2}{rm{ }}left( {q > 0} right) Rightarrow {u_1} = dfrac{8}{3})

Chọn đáp án B.

Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

A. ${190^0}$

B. ${191^0}$

C. ${192^0}$

D. ${193^0}$

Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử (A < B < C < D).

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

(begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} Leftrightarrow q = 2 Rightarrow {360^0} = A + B + C + D = A + 2A + 4A + 8A = 15A Rightarrow A = 24{}^0 Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}end{array})

Chọn đáp án C.